[拼音]：Lapulasi bianhuan

[外文]：Laplace transformation

為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。

用 f(t)表示實(shí)變量t的一個(gè)函數(shù)，F(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復(fù)變量s＝σ＋jω的一個(gè)函數(shù)，其中σ和ω 均為實(shí)變數(shù),j²＝-1。F(s)和f(t)間的關(guān)系由下面定義的積分所確定：

。

如果對(duì)于實(shí)部σ ＞σ_c的所有s值上述積分均存在，而對(duì)σ ≤σ_c時(shí)積分不存在，便稱 σ_c為f(t)的?樟蠶凳?。對(duì)給定的實(shí)變量函數(shù) f(t)，只有當(dāng)σ_c為有限值時(shí)，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習(xí)慣上,常稱F(s)為f(t)的象函數(shù),記為F(s)＝L[f(t)];稱f(t)為F(s)的原函數(shù),記為ft＝L^-1[F(s)]。

函數(shù)變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì)

利用定義積分，很容易建立起原函數(shù) f(t)和象函數(shù) F(s)間的變換對(duì)，以及f(t)在實(shí)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算與F(s)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。表1和表2分別列出了最常用的一些函數(shù)變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì)。

拉普拉斯反變換

拉普拉斯變換具有可逆性。由復(fù)數(shù)表達(dá)式F(s)來定出實(shí)數(shù)表達(dá)式f(t)的運(yùn)算稱為反變換。拉普拉斯反變換的定義積分式是

。

直接計(jì)算這個(gè)積分是困難的。但是對(duì)于大多數(shù)工程問題，F(s)往往是s的一個(gè)嚴(yán)格真有理分式

可采用簡(jiǎn)單步驟來完成反變換運(yùn)算。對(duì)應(yīng)于F(s)的分母多項(xiàng)式為零的根是兩兩不相等的情況，在定出它們的值λ₁、λ₂、…、λ_n以后,由部分分式展開并結(jié)合查表1,可定出反變換函數(shù)為

式中。如果F(s)的分母多項(xiàng)式為零的根中包含有重根，那么反變換的結(jié)果和計(jì)算過程都要復(fù)雜一些。

應(yīng)用

從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來說，拉普拉斯變換主要為求解線性微分方程提供了一種簡(jiǎn)便的運(yùn)算方法。在給定微分方程后，運(yùn)用表1的變換關(guān)系和表2的運(yùn)算性質(zhì)，就可把問題化成為求解象函數(shù)的代數(shù)方程，它的解經(jīng)反變換后的結(jié)果就是微分方程的解。

參考書目

1. 鐘士模、鄭大鐘著：《過渡過程分析》，清華大學(xué)出版社，北京，1986。

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標(biāo)簽：拉普拉斯變換

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文章名稱：《拉普拉斯變換》

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